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∶４，即乐律（αρμια）。数的德性为完全、。 。 。 。
H F匀称、谐和，三者天心所示亦人心所求。
数图一论派就把这样的数应用于各门学术。古时计数未有符号，也没有０，更无算式，有所交易，有所论说，就列卵石以明其数。数论派把数联系于几何图形，１、２、３、４分别代表点、线、面、体（１０９０ｂ２３）
（图二）。亦即决定这些形状所需要的最
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９１４。
少卵石数。勾股平方等于弦平方的所谓T“毕氏定理”
，正是联系算术与几何的伟大成功。当时以奇偶为限数与无限数的观念也是由卵石演出的：奇数顺次相加辄成正方形；。。。。。
１＋３＝４１＋３＋５＝９。。。。。。。。
余者类推。偶数顺次相加则为长方而形不定；。。。。。。。
２＋４＝６２＋４＋６＝１２。。。。。。。。。。。
余者类推。 又双行列点可由偶数递伸至于无限，奇数则止于末一余点，不复。
E 。 E可以递伸。这样“奇偶”
、“一多”
、“有限无限”三个品种的对成，可相比拟，或竟说可以相通了。
数论派再以几何图形联系于事物，如谓火的基本型式为四面体，气为八面体，水为二十面体，土为六面体，即立方，超四大元素“以太”
（αηθηρ）为十二面体。 这些可算是古代的结晶学，但这是想象的结晶学。数论派把这些神秘的数应用于实物或庶事上，时常有窒碍，也有些怪诞，跟着点线面体四数以后，他们以５代表质，６代表灵魂，７代表理性……。
另一系列事物则以１为脑，２为心，３为脐……。于同数的事物，其间就该有相符的德性。
单位之一作为列数的基元，万
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０２４。形而上学
物由数来组成，列数的基元便转化为物质的基元。 这样的单位之一与列数就不仅是算术数，而实际上已各具有特殊的素质或秉赋。数论的基本疑难是元一有对或无对的问题：若承认一的绝对性就不得以“双”或“多”为之匹配；数论派建立“一多”对成时，无法确实说明由一生多的过程。另一方面，一元论派也无法抹掉宇宙间已有的形形色色。
数论派于当代算术、几何、天文以及一切自然科学，常有卓越的创见，也包涵了好些幻想与迷信。中国古代的“河图洛书”与相类似。亚里士多德在“哲学”中用很多章节（如ＭＮ卷等）辟除这些迷信，说明列数应限于计算之用，“一”
只是计量的单位，消释了几百年来各派所附加于元一与列数的神秘性（如Ｉ１、Ｎ１各章）
，说明无限只是数与时间等事物所具有的属性，入于关系范畴（Ｋ１０）。 亚氏在这方面所表现的理知，有助于数学的健康发展。
可是直至二千年后，天算学家如刻卜勒还深信天体间的数比、乐律与几何图案，他发现那奠定近代天体力学的太阳系三律，只是他数十年间毕达哥拉斯式大量幻想中触及的一些真理。
（１５）原子学派。米利都的留基伯（盛年公元前４６０）和他的弟子阿布德拉的德谟克利特（４６０—３２０）
的原子理论，可说是意大利与埃利亚两派学术的综合。留基伯把数学基元应用于物质，建立了具有量度的不可区分物“原子”
（αμα）
，作G H为组成一切事物的实体基元。
“原子”可以拆散，可以重新再组事物，但它们本身各都是永存而不变的，这样，“原子”基本上符合于巴门尼德“元一”的性质；原子论派为那名义上的元一，或芝诺的观念上之实一招徕了一个新的着落。原子
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１２４。
论派也熟悉于芝诺等的“空实”
、“一多”
、“是与非是”等对成辩证，但他们辩证研究的功夫又转到了物质世界。德谟克利特于“原子”作成更具体的说明：原子各包含有活动的能力，于组成万物时，因形状、秩序、位置三项差异（卷Ａ第四章，又１０４２ｂ１２）而产生形形色色的万物。
“原子”这名称在公元后十八世纪又重新为英国化学家道尔顿所采用，这表明近代科学探索物质的途径正还是德谟克利特先已行进的途径。原子论是希腊自然哲学上最后最高的成就。
（１６）
苏格拉底与柏拉图学派。
希腊思想原先重于自然哲学即物学方面。在后，修辞与辩证之法既盛，学者的论题逐渐从宇宙论转向社会与伦理等问题。苏格拉底（公元前４６８—３９）允称这方面的翹楚。亚里士多德曾说到“普遍定义”与“归纳思辨”在学术进境上两件重要发明（１０７８ｂ２９）
应归功于苏格拉底。苏格拉底建立“定义”
（ρισμ）以对付H I诡辩派（智者）混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。 但他的道德观念与社会思想不符希腊人的传统素习，他的风尚也不合于当代的政治气氛，竟在七十岁时被当作诡辩杂说的代表，以惑乱青年的罪名受刑。
好多相从的青年在苏氏殁后，以学术成名，开辟了好些新学派，其中柏拉图尤为杰出。
（１７）苏格拉底在辩证中，由某些事例引出一些“公式”
，再逐次增上，归纳新的事例来扩充或修订这些公式，由公式造成的“定义”
，就可作为是非的标准。这可说是“意式”
（ιδα）
的先启。
关于柏拉图（公元前４２７—３４７）
的意式论，其E中多少得之师说，多少是他自己的思想，至今尚无定论。柏拉图曾从意大利学派承受了丰富的数理知识，也从克拉底鲁
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。
２４。形而上学
那里详悉了赫拉克利特的“消逝”说。他的意式可以看作是苏格拉底的“定义”
，也可以看作是意大利学派的“数比”。
赫拉克利特即明识于感觉世界之刻刻变化而不可捉摸，柏拉图因而指望在非感觉事物上求得不动不变的实是。 从若干事物中抽绎其共通性质，为之设立通名，这通名就代表了这一类事物的永恒实是。 这样人们于变动不息的万物原来无法认识者，就可由这些常住实是求得其真知识。 巴门尼德一元论派执一拒多，执是拒非；柏拉图的意式则“以一统多”
（πιπω）
；抽象而具有普遍性的“意式”由此凌驾于G H E F E H M F物质个体之上。
但我们若想从柏拉图诸“对话”中完全确定意式论的实义是不可能的。这些“对话”既是半文艺半哲学的体裁，所用名词后世也难严格加以界定。柏拉图的思想与年俱进，前篇与后篇思致并不完全一贯。亚里士多德在“哲学”中所诽议的意式论大多是柏拉图殁后，亚卡台米中所流行的学说。
譬如ＭＮ卷反复论述数与意式各题时，迭举“一多”
（αιG H E F Jπηθ）对成诸品种：（１）
“一”与“大和小”
，（２）
“单位”与M H I“未定之两”
，（３）
“等”与“不等”
，而诘责其间的谬妄，这些从意大利学派的“有限”与“无限”
（或有定未定）对成中发展的别名，实际是斯泮雪浦等持论的重点。在数学成长初期，这些应是重要的疑难；在今日数理上已有许多确定的名词与公认的定理，这些迷惑大都就不复存在。在没有完善的数学语言时，要想精确地说明数学问题，总是十分费劲。
本书译文的一些注释多少表达了数学语言成长的经历。
柏拉图认为计点事物的数可以脱离那一堆事物而成为本
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３２４。
２、本３等意式数（象数）
，这些象数若作为自然数来应用，便无庸訾议。意式论者有时超过这些想法，企图从数上找出它实际不具备的特质，这常引人入于幻误。他们于意式数与可感觉事物的计点数之间另设一系列的间体数，也是过度的虚拟。
柏拉图从可感觉物形态上看，很少有准确的几何图形，但几何却在处理那些理想的“象形”
，他比照着，推想在数上亦应有类此的“象数”。 这些象形既有独立存在，那些象数也应独立存在。
这些都难作成确解。
数学家过度重视数的作用，这在各民族文化发展史上是相同的。 柏拉图学院的继承者们重数学过于哲学，几乎忽忘了先师的“意式”
，而以“象数”为“基本实是”。亚氏因此不惮烦的反复申述哲学研究的范围，慎重指明大家所要考察的本体应为星辰、生物以及自然万有，而不该是数和图形与意式；数与图形只是数理各门中的专门材料。
（二）亚里士多德的思想体系
（１８）
亚里士多德作为一个思想家，其主要成就在于名学分析；他用几何论证方式或归谬法使人见到各家立论或假设之悖解处，常是简明而锐利；批评诸先哲时，常能洞中前人的弱点。有些辩难，今人看来或觉烦琐，在古时则这些都是被重视的问题。我们已知道“哲学”的编成是多年间断续的论文、讲稿或笔记的汇合；文内多套语，保留着讲堂气味。
哲学议论要求精审而又务广涵，故造句甚为繁复。 运用古代不丰富的字汇作析微阐幽的功夫，精萃的论断与反复的叮咛往往互见。列宁在“哲学笔记”中尝称誉亚氏的思想条理能
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够摧毁柏拉图唯心主义和一切唯心主义，但在许多问题的辩证中也陷于质朴的混乱。我们若发现这书中一些不符的行文与晦涩的句逗，应该不足深异。全书综合而论，大致贯串而且具备着哲学论文上应有的细致。
（１９）
矛盾律。
于列叙前贤哲学思想并历举了哲学诺主题后，他对于神话学家的“混沌”传说，赫拉克利特的“永恒消逝”
，阿那克萨哥拉的“万物混合”
，普罗塔哥拉的“人为物准”等名论，都用相反（矛盾）律加以勘察。卷与卷A F第五第六章否定折中论者与诡辩学派的“意见两可”与“现象两可”论，彻底消除了在论理上的两可（“是又不是”）与两不可（“也无是也无不是”）的模棱态度，使世人认识这些学说虽似各具胜义，谈言微中，却实际无益于格物致知。他的辩难有时似亦简率，并未举出充分理由；但就建立矛盾律的诸证明看来，他要为人世昭明是非而维护公理的心愿是悃愊而诚挚的。
（２０）范畴与本体。凡物必有所“是”
，或是人，是马；或是白是黑，或是长是短。日常的言谈或学术的理论就只在各述其所“是”。这样的云谓，亚氏曾在较早的名学著作中厘订了十“范畴”
（σημααηαηρια）
（参看“索引”
“范畴”